Índice de Contenidos
- Factorización por Factor Común (Nivel Avanzado)
- 1. ¿Qué significa “factorizar”?
- 2. Definición formal de factor común
- 3. Teorema clave: propiedad distributiva inversa
- 4. Estrategia avanzada para encontrar el factor común
- 5. Factor común numérico (con criterio matemático)
- 6. Factor común con variables y exponentes
- 7. Factor común con signo negativo
- 8. Factor común fraccionario
- 9. Factor común polinómico (factor común “oculto”)
- 10. Factorización por agrupación
- 11. Factor común mixto (agrupación avanzada)
- 12. Factor común en fracciones algebraicas (simplificación)
- 13. Factor común como paso previo a resolver ecuaciones
- 14. Errores comunes (y cómo evitarlos)
- 15. Ejercicios de práctica
- Cierre
Factorización por Factor Común (Nivel Avanzado)
1. ¿Qué significa “factorizar”?
Factorizar es reescribir una expresión algebraica como un producto.
Por ejemplo, la expresión:
\[6x + 12\]puede reescribirse como:
\[6(x+2)\]Esto es útil porque nos permite simplificar cálculos, cancelar factores en fracciones, facilita resolver ecuaciones y revelar estructuras algebraicas ocultas.
2. Definición formal de factor común
Definición (Factor común)
Sea una suma algebraica:
\[A_1 + A_2 + \cdots + A_n\]Diremos que existe un factor común \(F\) si cada término \(A_i\) puede escribirse como:
\[A_i = F \cdot B_i\]Entonces la expresión completa se puede escribir como:
\[A_1 + A_2 + \cdots + A_n = F(B_1 + B_2 + \cdots + B_n)\]3. Teorema clave: propiedad distributiva inversa
Teorema (Distribución)
La propiedad distributiva establece que:
\[a(b+c)=ab+ac\]La factorización por factor común es aplicar esta propiedad en sentido inverso:
\[ab+ac=a(b+c)\]4. Estrategia avanzada para encontrar el factor común
Cuando factorizamos, buscamos:
- MCD numérico (máximo común divisor de los coeficientes numéricos).
- variables comunes.
- menor exponente común.
- signo negativo común (si ayuda a ordenar el resultado).
- factor común polinómico (binomios o expresiones repetidas).
- agrupación (cuando el factor común no aparece en todos los términos).
5. Factor común numérico (con criterio matemático)
Ejemplo 1
Factoriza la siguiente expresión:
\[18x + 24\]Para factorizar la expresión anterior veamos los siguientes pasos:
Paso 1. Hallar el MCD de 18 y 24.
Descomposición prima:
\[18 = 2 \cdot 3^2\] \[24 = 2^3 \cdot 3\]Por tanto:
\[\text{MCD}(18,24)=2\cdot 3=6\]Paso 2. Extraer el factor común:
\[18x + 24 = 6(3x+4)\]Resultado final:
\[18x + 24 = 6(3x+4)\]6. Factor común con variables y exponentes
Regla fundamental
Siempre que aparece una variable en varios términos, el exponente común es el menor exponente compartido.
Por ejemplo:
\[x^5 \text{ y } x^2 \Rightarrow \text{factor común } x^2\]Ejemplo 2
Factoricemos la siguiente expresión:
\[12x^4y^3 + 18x^2y^5\]Paso 1. Factor común numérico:
\[\text{MCD}(12,18)=6\]Paso 2. Factor común de \(x\):
\[x^4 \text{ y } x^2 \Rightarrow x^2\]Paso 3. Factor común de \(y\):
\[y^3 \text{ y } y^5 \Rightarrow y^3\]Paso 4. Factor común total:
\[6x^2y^3\]Paso 5. Dividir cada término:
\[\frac{12x^4y^3}{6x^2y^3}=2x^2\] \[\frac{18x^2y^5}{6x^2y^3}=3y^2\]Resultado final:
\[12x^4y^3 + 18x^2y^5 = 6x^2y^3(2x^2+3y^2)\]7. Factor común con signo negativo
A veces conviene extraer un signo negativo para que el polinomio dentro del paréntesis quede más ordenado.
Ejemplo 3
Factoricemos la siguiente expresión algebraica:
\[-5x^3 + 10x^2 - 15x\]Paso 1. Factor común numérico:
\[\text{MCD}(5,10,15)=5\]Paso 2. Factor común literal:
\[x^3, x^2, x \Rightarrow x\]Paso 3. Extraer el factor común con signo negativo:
\[-5x(x^2-2x+3)\]Resultado final:
\[-5x^3 + 10x^2 - 15x = -5x(x^2-2x+3)\]8. Factor común fraccionario
Ejemplo 4
Factoriza:
\[\frac{3}{4}x^2 + \frac{9}{8}x\]Paso 1. Factor común numérico.
Observamos que: \(\frac{3}{8}\) es un factor común adecuado.
Paso 2. También hay factor común literal $x$.
Entonces el factor común total es:
\[\frac{3}{8}x\]Paso 3. Dividir cada término:
\[\frac{\frac{3}{4}x^2}{\frac{3}{8}x}=2x\] \[\frac{\frac{9}{8}x}{\frac{3}{8}x}=3\]Resultado final:
\[\frac{3}{4}x^2 + \frac{9}{8}x = \frac{3}{8}x(2x+3)\]9. Factor común polinómico (factor común “oculto”)
Aquí el factor común no es un número ni una letra, sino un polinomio completo.
Ejemplo 5
Factoriza:
\[(x+2)(x-5) + 3(x+2)\]Paso 1. Identificar el factor repetido.
El factor común es:
\[(x+2)\]Paso 2. Extraer el factor común:
\[(x+2)\big((x-5)+3\big)\]Paso 3. Simplificar el paréntesis:
\[(x-5)+3=x-2\]Resultado final:
\[(x+2)(x-5) + 3(x+2) = (x+2)(x-2)\]10. Factorización por agrupación
Cuando no hay un factor común evidente en todos los términos, agrupamos.
Ejemplo 6
Factoriza:
\[ax + ay + bx + by\]Paso 1. Agrupar términos:
\[(ax+ay) + (bx+by)\]Paso 2. Sacar factor común en cada grupo:
\[a(x+y) + b(x+y)\]Paso 3. Extraer el factor común global:
\[(x+y)(a+b)\]Resultado final:
\[ax + ay + bx + by = (x+y)(a+b)\]11. Factor común mixto (agrupación avanzada)
Ejemplo 7
Factoriza completamente:
\[6x^2 - 9xy + 4x - 6y\]Paso 1. Agrupar:
\[(6x^2 - 9xy) + (4x - 6y)\]Paso 2. Sacar factor común en cada grupo:
\[6x^2 - 9xy = 3x(2x-3y)\] \[4x - 6y = 2(2x-3y)\]Paso 3. Extraer el factor común polinómico:
\[3x(2x-3y) + 2(2x-3y) = (2x-3y)(3x+2)\]Resultado final:
\[6x^2 - 9xy + 4x - 6y = (2x-3y)(3x+2)\]12. Factor común en fracciones algebraicas (simplificación)
Ejemplo 8
Simplifica:
\[\frac{12x^2y - 18xy^2}{6xy}\]Paso 1. Factorizar el numerador:
\[12x^2y - 18xy^2 = 6xy(2x-3y)\]Paso 2. Sustituir:
\[\frac{6xy(2x-3y)}{6xy}\]Paso 3. Cancelar el factor común:
\[2x-3y\]Conclusión:
\[\frac{12x^2y - 18xy^2}{6xy} = 2x-3y\]Restricción: \(x \ne 0$ y $y \ne 0\).
13. Factor común como paso previo a resolver ecuaciones
Teorema (Producto nulo)
Si:
\[A \cdot B = 0\]Entonces:
\[A = 0 \quad \text{o} \quad B = 0\]Ejemplo 9
Resuelve:
\[5x^3 - 10x^2 = 0\]Paso 1. Extraer factor común:
\[5x^3 - 10x^2 = 5x^2(x-2)\]Por tanto, la ecuación queda:
\[5x^2(x-2)=0\]Paso 2. Aplicar producto nulo.
Si:
\[5x^2 = 0\]entonces:
\[x^2 = 0\]y por tanto:
\[x = 0\]Si:
\[x-2 = 0\]entonces:
\[x = 2\]Solución final:
\[x = 0 \quad \text{o} \quad x = 2\]14. Errores comunes (y cómo evitarlos)
Error 1: sacar un factor que no divide a todos los términos
Ejemplo poco conveniente:
\[6x + 9 = 6(x+1.5)\]Esto es correcto, pero no es lo adecuado. Mejor hacerlo de la siguiente manera:
\[6x + 9 = 3(2x+3)\]Error 2: olvidar dividir correctamente
Ejemplo correcto:
\[12x + 8 = 4(3x+2)\]Ejemplo incorrecto:
\[12x + 8 = 4(12x+8)\]Error 3: no factorizar completamente
Ejemplo incompleto:
\[2x^2 - 8 = 2(x^2-4)\]Factorización completa:
\[2(x^2-4)=2(x-2)(x+2)\]15. Ejercicios de práctica
Instrucción: Factoriza completamente cada uno de las siguientes expresiones algebraicas
- \[8x + 12\]
- \[15a^2 + 25a\]
- \[18m^3n^2 - 12m^2n\]
- \[7x^2y - 14xy^2 + 21xy\]
- \[\frac{3}{5}x^2 + \frac{9}{10}x\]
- \[(x+3)(x-2) - 5(x+3)\]
- \[4x^3 - 12x^2 + 9x - 27\]
- \[6a^2b - 9ab^2 + 12a - 18b\]
- \[10x^4y^3 - 15x^3y^5 + 25x^2y^3\]
- \[3(x-2)^3 - 6(x-2)^2 + 9(x-2)\]
Cierre
La factorización por factor común no es una técnica básica: es una habilidad estructural.
Cuando la dominas, puedes simplificar expresiones complejas, resolver ecuaciones polinómicas, trabajar con fracciones algebraicas y detectar patrones escondidos dentro de dichas expresiones.
Regla final: si una expresión parece difícil, casi siempre conviene preguntar primero: ¿hay algo común escondido aquí?
Practica aquí
En el siguiente cuadro podrás generar un ejercicio de diversos niveles ¡ponte a prueba!
