¿Cuándo y por qué usar el completado de cuadrados?
El método de factorización por completado de cuadrados es útil cuando otros métodos más directos (como factor común, diferencia de cuadrados, o factorización por agrupación) no funcionan. Es especialmente valioso para:
- Trinomios cuadráticos que no se factorizan fácilmente por inspección
- Expresiones con términos de grado alto que contienen patrones cuadráticos ocultos
- Preparar expresiones para aplicar otros métodos como diferencia de cuadrados
Este método nos permite “construir” un cuadrado perfecto agregando y quitando el mismo término, manteniendo la expresión igual pero revelando una estructura factorizable.
Conceptos previos necesarios
Antes de comenzar, es importante recordar algunos conceptos clave:
Cuadrado perfecto: Una expresión que resulta de elevar otra al cuadrado:
\[\begin{aligned}x^2& \\9y^2 &= (3y)^2 \\25x^4 &= (5x^2)^2\end{aligned}\]Trinomio cuadrático perfecto: El resultado de elevar un binomio al cuadrado:
\[a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2\]La idea central: Si tenemos una expresión que “casi” es un trinomio cuadrático perfecto, podemos completarla agregando y restando el término faltante.
Los tres casos principales
Organizaremos los casos de más simple a más complejo:
- Caso 1: Trinomio cuadrático simple
- Caso 2: Binomio con dos cuadrados perfectos
- Caso 3: Trinomio con dos cuadrados perfectos
Caso 1: Trinomio cuadrático simple
Este es el caso más común y útil para estudiantes. Se aplica a trinomios de la forma \(ax^2 + bx + c\) donde el primer término ya es un cuadrado perfecto (o se puede convertir en uno).
La estrategia:
- Identificar el primer término como un cuadrado: \((px)^2\)
- Usar el segundo término para determinar qué debería ser el tercer término en un trinomio cuadrático perfecto
- Agregar y restar ese “término faltante”
- Factorizar como \((px + q)^2 - r\) y continuar si es posible
Ejemplo 1A (Simple):
Factorizar: \(x^2 + 6x + 5\)
Paso 1: Reconocer el primer término como cuadrado
\((x)^2 + 6x + 5\)
Aquí \(p = 1\), entonces el trinomio cuadrático perfecto sería \((x + q)^2 = x^2 + 2qx + q^2\)
Paso 2: Determinar qué debiera ser \(q\)
Comparando los dos segundos términos \(6x = 2qx\), obtenemos \(q = 3\)
Entonces el trinomio cuadrático perfecto sería: \(x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2\)
Paso 3: Completar el cuadrado
Seguidamente, sumamos y restamos el tercer término para mantener el mismo valor polinomial original:
\[\begin{aligned} x^2 + 6x + 5 &= x^2 + 6x + 9 - 9 + 5 \\ &= (x^2 + 6x + 9) - 4 \\ &= (x + 3)^2 - 4 \end{aligned}\]Paso 4: Factorizar como diferencia de cuadrados
\(\begin{aligned} (x + 3)^2 - 4 &= (x + 3)^2 - 2^2 \\ &= [(x + 3) + 2][(x + 3) - 2] \\ &= (x + 5)(x + 1) \end{aligned}\)
Verificación:
\((x + 5)(x + 1) = x^2 + x + 5x + 5 = x^2 + 6x + 5\) ✓
Ejemplo 1B (Más complejo):
Factorizar: \(4x^2 + 4x - 15\)
Paso 1: Reconocer el primer término como cuadrado
\(4x^2 = (2x)^2\), entonces tenemos \((2x)^2 + 4x - 15\)
Paso 2: Determinar el término faltante
Para \((2x + q)^2 = 4x^2 + 4qx + q^2\)
Comparando \(4x = 4qx\), obtenemos \(q = 1\)
El trinomio perfecto sería: \(4x^2 + 4x + 1 = (2x + 1)^2\)
Paso 3: Completar el cuadrado
\(\begin{aligned} 4x^2 + 4x - 15 &= 4x^2 + 4x + 1 - 1 - 15 \\ &= (4x^2 + 4x + 1) - 16 \\ &= (2x + 1)^2 - 16 \end{aligned}\)
Paso 4: Factorizar como diferencia de cuadrados
\(\begin{aligned} (2x + 1)^2 - 16 &= (2x + 1)^2 - 4^2 \\ &= [(2x + 1) + 4][(2x + 1) - 4] \\ &= (2x + 5)(2x - 3) \end{aligned}\)
Verificación:
\((2x + 5)(2x - 3) = 4x^2 - 6x + 10x - 15 = 4x^2 + 4x - 15\) ✓
Caso 2: Binomio con dos cuadrados perfectos
Este caso aparece cuando tenemos solo dos términos que son cuadrados perfectos, como \(a^2 + b^2\). Para factorizar, necesitamos “crear” el término medio de un trinomio cuadrático perfecto.
La estrategia:
- Identificar los dos cuadrados perfectos: \(a^2\) y \(b^2\)
- Calcular el término medio que necesitaríamos: \(2ab\)
- Sumar y restar ese término: \(a^2 + b^2 + 2ab - 2ab\)
- Reorganizar: \((a^2 + 2ab + b^2) - 2ab = (a + b)^2 - 2ab\)
- Factorizar si es posible (frecuentemente como diferencia de cuadrados)
Ejemplo 2A (Simple):
Factorizar: \(x^2 + 1\)
Paso 1: Identificar los cuadrados perfectos
\(x^2 + 1^2\), donde \(a = x\) y \(b = 1\)
Paso 2: Calcular el término medio necesario
Para \((x + 1)^2\), necesitaríamos: \(2(x)(1) = 2x\)
Paso 3: Sumar y restar el término medio
\(\begin{aligned} x^2 + 1 &= x^2 + 1 + 2x - 2x \\ &= (x^2 + 2x + 1) - 2x \\ &= (x + 1)^2 - 2x \end{aligned}\)
Nota: En este ejemplo, \((x + 1)^2 - 2x\) no se puede factorizar más sobre los reales, pero el método nos da una forma alternativa de escribir la expresión.
Ejemplo 2B (Más complejo):
Factorizar: \(x^4 + 4\)
Paso 1: Identificar los cuadrados perfectos
\((x^2)^2 + 2^2\)
Paso 2: Calcular el término medio necesario
Para \((x^2 + 2)^2\), necesitaríamos: \(2(x^2)(2) = 4x^2\)
Paso 3: Sumar y restar el término medio
\(\begin{aligned} x^4 + 4 &= x^4 + 4 + 4x^2 - 4x^2 \\ &= (x^4 + 4x^2 + 4) - 4x^2 \\ &= (x^2 + 2)^2 - (2x)^2 \end{aligned}\)
Paso 4: Factorizar como diferencia de cuadrados
\(\begin{aligned} (x^2 + 2)^2 - (2x)^2 &= [(x^2 + 2) + 2x][(x^2 + 2) - 2x] \\ &= (x^2 + 2x + 2)(x^2 - 2x + 2) \end{aligned}\)
Verificación:
\((x^2 + 2x + 2)(x^2 - 2x + 2) = x^4 + 4\) ✓
(Al expandir: \(x^4 - 2x^3 + 2x^2 + 2x^3 - 4x^2 + 4x + 2x^2 - 4x + 4 = x^4 + 4\))
Caso 3: Trinomio con dos cuadrados perfectos
Este caso aparece cuando tenemos un trinomio donde el primer y tercer términos son cuadrados perfectos, pero el segundo término no coincide con lo que necesitaríamos para un trinomio cuadrático perfecto.
La estrategia:
- Identificar los dos cuadrados perfectos: \(a^2\) y \(b^2\)
- Calcular qué término medio necesitaríamos para \((a \pm b)^2\): \(2ab\)
- Sumar y restar ese término para completar el cuadrado
- Reorganizar como \((a \pm b)^2 \pm \text{término restante}\)
- Factorizar la expresión resultante si es posible
Ejemplo 3A (Simple):
Factorizar: \(x^2 + xy + y^2\)
Paso 1: Identificar los cuadrados perfectos
\(x^2\) y \(y^2\) son cuadrados perfectos
Paso 2: Determinar el término medio para un trinomio perfecto
Para \((x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\), necesitaríamos \(2xy\) como término medio
Pero tenemos \(xy\), así que nos falta \(xy\) adicional
Paso 3: Sumar y restar el término faltante
\(\begin{aligned} x^2 + xy + y^2 &= x^2 + xy + y^2 + xy - xy \\ &= x^2 + 2xy + y^2 - xy \\ &= (x + y)^2 - xy \end{aligned}\)
Nota: Esta expresión generalmente no se puede factorizar más sobre los reales, pero el método nos da una forma útil de reescribirla.
Ejemplo 3B (Más complejo):
Factorizar: \(x^4 + x^2y^2 + y^4\)
Paso 1: Identificar los cuadrados perfectos
\((x^2)^2\) y \((y^2)^2\) son cuadrados perfectos
Paso 2: Determinar el término medio necesario
Para \((x^2 + y^2)^2 = x^4 + 2x^2y^2 + y^4\), necesitaríamos \(2x^2y^2\)
Tenemos \(x^2y^2\), así que nos falta \(x^2y^2\) adicional
Paso 3: Sumar y restar el término faltante
\(\begin{aligned} x^4 + x^2y^2 + y^4 &= x^4 + x^2y^2 + y^4 + x^2y^2 - x^2y^2 \\ &= x^4 + 2x^2y^2 + y^4 - x^2y^2 \\ &= (x^2 + y^2)^2 - x^2y^2 \\ &= (x^2 + y^2)^2 - (xy)^2 \end{aligned}\)
Paso 4: Factorizar como diferencia de cuadrados
\(\begin{aligned} (x^2 + y^2)^2 - (xy)^2 &= [(x^2 + y^2) + xy][(x^2 + y^2) - xy] \\ &= (x^2 + xy + y^2)(x^2 - xy + y^2) \end{aligned}\)
Verificación:
\((x^2 + xy + y^2)(x^2 - xy + y^2) = x^4 + x^2y^2 + y^4\) ✓
Errores comunes a evitar
1. Olvidar restar el término que se suma
Error: \(x^2 + 1 = x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2\)
Correcto: \(x^2 + 1 = x^2 + 2x + 1 - 2x = (x + 1)^2 - 2x\)
2. Errores en el cálculo del término medio
Error: Para completar \((2x)^2 + 4x\), usar \(2(2x)(1) = 4x\) como término medio
Correcto: El término medio de \((2x + q)^2\) es \(2(2x)(q) = 4qx\). Si tenemos \(4x\), entonces \(q = 1\)
3. No verificar la respuesta final
Siempre expande el resultado final para verificar que coincida con la expresión original.
Ejercicios de práctica
Nivel Básico:
- \[x^2 + 4x + 1\]
- \[x^2 + 8x + 7\]
- \[x^2 + 9\]
Nivel Intermedio:
- \[4x^2 + 8x + 1\]
- \[x^2 + 2xy + 2y^2\]
- \[9x^2 + 6x - 8\]
Nivel Avanzado:
- \[x^4 + 2x^2 + 5\]
- \[x^4 + x^2y^2 + 4y^4\]
Resumen y conclusión
El completado de cuadrados es una técnica fundamental que:
- ✓ Funciona cuando otros métodos fallan
- ✓ Se aplica en tres casos principales: trinomios cuadráticos simples, binomios con cuadrados perfectos, y trinomios con dos cuadrados perfectos
- ✓ Requiere práctica para dominar el cálculo de términos medios
- ✓ Siempre debe verificarse expandiendo el resultado
Progreso sugerido de aprendizaje:
- Domina el Caso 1 con trinomios cuadráticos simples
- Practica el Caso 2 con binomios
- Aborda el Caso 3 con trinomios complejos
Con la práctica, esta técnica se vuelve invaluable no solo para factorización, sino también para resolver ecuaciones cuadráticas y problemas de cálculo.
Otros Métodos de Factorización:
Bibliografía Consultada
- Padilla, E., Quesada, C., & Araya, D. (2019). Precálculo Versión Preliminar. EUNED.
- CONAMAT. (2009). Álgebra. Pearson Hispanoamérica.
