Definición
La divisibilidad de un número entero \(n\) por otro número entero \(d\) puede expresarse como una congruencia:
\[n \equiv 0 \pmod{d}\]Esto significa que \(d \mid n\), es decir que \(n\) es divisible entre \(d\)
Criterios de divisibilidad usando congruencias del 1 al 19
Divisibilidad por 1
Todo número es divisible por 1.
\[n \equiv 0 \pmod{1}\]Luego, esta es una proposición que será siempre verdadera.
Divisibilidad por 2
Un número es divisible por 2 si su última cifra es par.
\[n \equiv 0 \pmod{2}\]Divisibilidad por 3
Si la suma de sus cifras es divisible por 3, el número es divisible por 3.
\[n \equiv a_1 + a_2 + \dots + a_k \equiv 0 \pmod{3}\]Divisibilidad por 4
Si sus dos últimas cifras forman un número divisible por 4.
\[n \equiv 0 \pmod{4} \Leftrightarrow 100 \equiv 0 \pmod{4}\]Divisibilidad por 5
Si termina en 0 o 5.
\[n \equiv 0 \text{ ó } 5 \pmod{10}\]Divisibilidad por 6
Si es divisible por 2 y por 3.
\[n \equiv 0 \pmod{6} \Leftrightarrow n \equiv 0 \pmod{2} \land n \equiv 0 \pmod{3}\]Divisibilidad por 7
Debemos de quitar la última cifra, multiplicarla por 2 y restarla del número que queda. Si el resultado es divisible por 7, el número original también lo es.
\[n \equiv 0 \pmod{7} \Leftrightarrow 10a + b \Rightarrow a - 2b \equiv 0 \pmod{7}\]Divisibilidad por 8
Si sus tres últimas cifras forman un número divisible por 8.
\[n \equiv 0 \pmod{8}\]Divisibilidad por 9
Si la suma de sus cifras es divisible por 9.
\[n \equiv \sum_{i=0}^{k} a_i \pmod{9}\]Divisibilidad por 10
Si termina en 0.
\[n \equiv 0 \pmod{10}\]Divisibilidad por 11
Si la suma alternada de sus cifras es divisible por 11.
\[n = a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + \dots \equiv 0 \pmod{11}\]Divisibilidad por 12
Si es divisible por 3 y por 4.
\[n \equiv 0 \pmod{12} \Leftrightarrow n \equiv 0 \pmod{3} \land n \equiv 0 \pmod{4}\]Divisibilidad por 13
Multiplica la última cifra por 9 y réstala del número restante.
\[n = 10a + b \Rightarrow a - 9b \equiv 0 \pmod{13}\]Divisibilidad por 14
Si es divisible por 2 y por 7.
\[n \equiv 0 \pmod{14} \Leftrightarrow n \equiv 0 \pmod{2} \land n \equiv 0 \pmod{7}\]Divisibilidad por 15
Si es divisible por 3 y por 5.
\[n \equiv 0 \pmod{15} \Leftrightarrow n \equiv 0 \pmod{3} \land n \equiv 0 \pmod{5}\]Divisibilidad por 16
Si las últimas 4 cifras forman un número divisible por 16.
\[n \mod 10000 \equiv 0 \pmod{16}\]Divisibilidad por 17
Multiplica la última cifra por 5, réstala del resto.
\[n = 10a + b \Rightarrow a - 5b \equiv 0 \pmod{17}\]Divisibilidad por 18
Si es divisible por 2 y por 9.
\[n \equiv 0 \pmod{18} \Leftrightarrow n \equiv 0 \pmod{2} \land n \equiv 0 \pmod{9}\]Divisibilidad por 19
Multiplica la última cifra por 2 y súmala al resto.
\[n = 10a + b \Rightarrow a + 2b \equiv 0 \pmod{19}\]
