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Ejercicios sobre ecuaciones diofánticas usando fracciones contínuas
Ejercicio 1:
Resuelva la ecuación diofántica \(3206x + 989y = 11\), utilizando el método de las fracciones continuas.
Solución
(1) Como podemos ver, el \(mcd(3206,989)=1\), entonces la ecuación tiene solución (recordemos que esta es una condición que se debe cumplir), por lo que usando el método de fracciones continuas tenemos que:
\[\dfrac{3206}{989}=3+\dfrac{1}{4+\dfrac{1}{7+\dfrac{1}{4+\dfrac{1}{8}}}}\](2) Entonces, tenemos como resultado que \(\dfrac{3206}{989}=[3;4,7,4,8]\); sin embargo, de este resultado podemos eliminar la fracción \(\dfrac{1}{8}\) en donde, entonces, nos quedaria la fracción:
\[\dfrac{3206}{989}=3+\dfrac{1}{4+\dfrac{1}{7+\dfrac{1}{4}}}=\dfrac{389}{120}\](3) Con este resultado, obtenemos por la fórmula:
\[3206 \cdot 120 - 389 \cdot 989 = (-1)^5\](4) Ahora bien, si multiplicamos la ecuación por \(-11\), y agrupamos, podemos obtener la identidad:
\[3206(-1320) + 989(4279)=11\](5) De esta manera, una solución particular es \(x=-1320\) y \(y=4279\), en donde la solución general es de la forma \(x=-1320-989n\) y \(y=4279+3206m\), con \(n \in \mathbb{Z}\)
Ejercicio 2:
Utilice el método de fracciones continuas para resolver la ecuación \(99x+41y=3\)
Solución
(1) Como podemos ver, el \(mcd(99,41)=1\); entonces la ecuación tiene solución (recordemos que esta es una condición que se debe cumplir) por lo que usando el método de fracciones continuas tenemos que:
\[\dfrac{99}{41}=2+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{3}}}}\](2) Entonces tenemos como resultado que \(\dfrac{99}{41}=[2;2,2,2,1]\); sin embargo, de este resultado podemos eliminar la fracción \(\dfrac{1}{3}\), en donde entonces nos quedaria la fracción:
\[\dfrac{99}{41}=2+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{2}}}=\dfrac{29}{12}\](3) Con este resultado, obtenemos por la fórmula que:
\[99 \cdot 12 - 29 \cdot 41 = (-1)^5\](4) Ahora bien, si multiplicamos la ecuación por \(-3\), y agrupamos; podemos obtener la identidad:
\[99(-36)+(87) \cdot 41 = 3\](5) De esta manera, una solución particular es \(x=-36\) y \(y=87\), en donde la solución general es de la forma \(x=-36-41n\) y \(y=87+99m\), con \(n \in \mathbb{Z}\)
Bibliografia y referencias
Ruiz. H. V. (2024). Cuaderno de trabajo tutoria virtual 2. Capítulos 3 y 4. Divisibilidad y Fracciones Continuas. Universidad Estatal a Distancia. Cátedra de Matemáticas Superiores. Obtenido de: aprende.uned.ac.cr
