La factorización por inspección es un método intuitivo y directo para descomponer polinomios en factores sin necesidad de procedimientos algebraicos complejos. Se basa en la observación de la estructura del polinomio y en la identificación rápida de sus factores.
Este método es especialmente útil cuando el polinomio presenta patrones evidentes, como productos notables, coeficientes pequeños o raíces enteras fácilmente identificables.
Trinomio de la forma \(x^2 + bx + c\):
Por inspección, se buscan dos cantidades cuyo producto sea igual al tercer término y cuya suma sea igual al segundo.
Por ejemplo, para factorizar:
\[x^2-7x-18\]Debemos buscar dos valores que multiplicados nos den -18 y sumados nos den -7.
Luego, la expresión factorizada sería:
\[(x-9)(x+2)\]Trinomio de la forma \(ax^2 + bx + c\):
Se multiplican los coeficientes del primer y tercer término \((a \cdot c)\), y, por inspección, se buscan dos números que multiplicados sean igual a \((a \cdot c)\) y sumados sean igual al coeficiente del segundo término.
Por ejemplo, para factorizar:
\[6x^2 - 7x - 3\]- Se calcula: \(a \cdot c = 6 \cdot -3 = -18\):
- Se busca dos números que multiplicados den \(-18\) y sumados \(-7\).
- En este caso \(-9 \cdot 2 = -18\) y \(-9 + 2 = -7\).
Se procede a factorizar por agrupación de términos:
\[\begin{aligned} &=6x^2 -7x - 3 \\ &= 6x^2 + 2x - 9x -3 \\ &= (6x^2 + 2x) - (9x + 3) \\ &= 2x(3x + 1) - 3(3x + 1) \\ &= (3x+1)(2x-3) \end{aligned}\]Luego, la factorización es:
\[(3x+1)(2x-3)\]Este trinomio también se puede factorizar utilizando la ténica de pareo cruzado mostrado previamente, aunque encontrar los términos es un poquito más difícil.
Alternativa usando cambio de variable
Otra alternativa para este tipo de expresión algebraica consiste en multiplicar y dividir los términos del trinomio por el coeficiente del término cuadrático, y luego usar la factorización por cambio de variable para luego aplicar la técnica de factorización del trinomio de la forma \(x^2+bx+c\) previamente discutida.
Por ejemplo:
\[6x^2 - 7x - 3 =\frac{6(6x^2 - 7x - 3)}{6} =\frac{(6x)^2 - 7(6x) - 18)}{6}\]Luego \(u=6x\), y obtenemos \(u^2-7u-18\), que podemos factorizar por inspección utilizando la misma técnica que con el trinomio de la forma \(x^2+bx+c\):
\[\frac{u^2-7u-18}{6} = \frac{(u+2)(u-9)}{6} = \frac{(6x+2)(6x-9)}{6}\]Finalmente, se obtiene el factor común de cada binomio y se simplifica la fracción:
\[\frac{(6x+2)(6x-9)}{6} = \frac{2(3x+1)3(2x-3)}{6} = \frac{\cancel{6}(3x+1)(2x-3)}{\cancel{6}}\]Luego, la factorización es:
\[6x^2 - 7x - 3 = (3x+1)(2x-3)\]Conclusión
La factorización por inspección es un método rápido y eficiente para descomponer polinomios cuando se pueden identificar patrones evidentes. Si bien no siempre es aplicable, es una herramienta fundamental en álgebra que facilita la resolución de ecuaciones y el análisis matemático.
Con suficiente práctica, el reconocimiento de factores se vuelve intuitivo y permite resolver problemas de manera muy rápida.
Otros Métodos de Factorización:
Bibliografía Consultada
- Padilla, E., Quesada, C., & Araya, D. (2019). Precálculo Versión Preliminar. EUNED.
- CONAMAT. (2009). Álgebra. Pearson Hispanoamérica.
