¿Qué es la factorización por inspección?
Imagina que tienes que factorizar \(x^2 + 5x + 6\). En lugar de usar fórmulas complejas, puedes “ver” rápidamente que:
- Necesitas dos números que multiplicados den 6
- Y que sumados den 5
- ¡Son 2 y 3! Porque \(2 \times 3 = 6\) y \(2 + 3 = 5\)
Entonces: \(x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)\)
La factorización por inspección es exactamente esto: desarrollar la habilidad de “ver” los factores directamente, sin procedimientos largos.
¿Cuándo usar este método?
La inspección es tu primera opción cuando:
🔍 Los números son pequeños: Coeficientes como 1, 2, 3, 6, etc.
⚡ Quieres ser rápido: Es el método más veloz cuando funciona
🎯 Ves patrones obvios: Productos notables o estructuras familiares
⚠️ Otros métodos parecen complicados: Antes de usar fórmulas, intenta inspección
Desarrollando tu “visión” matemática
La inspección no es magia – es una habilidad que se desarrolla con práctica. Aquí está cómo entrenar tu mente:
Caso 1: Trinomios simples (\(x^2 + bx + c\))
La estrategia básica
Para \(x^2 + bx + c\), buscamos dos números \(m\) y \(n\) tales que:
- \(m \times n = c\) (producto = término constante)
- \(m + n = b\) (suma = coeficiente de \(x\))
Entonces: \(x^2 + bx + c = (x + m)(x + n)\)
Ejemplo 1A: Caso positivo simple
Factorizar: \(x^2 + 7x + 12\)
Paso 1: Identificar qué buscamos
- Producto: \(m \times n = 12\)
- Suma: \(m + n = 7\)
Paso 2: Listar factores de 12
\(12 = 1 \times 12, \quad 2 \times 6, \quad 3 \times 4\)
Paso 3: Probar las sumas
- \(1 + 12 = 13\) ❌
- \(2 + 6 = 8\) ❌
- \(3 + 4 = 7\) ✅
¡Encontramos! \(m = 3, n = 4\)
Resultado: \(x^2 + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4)\)
Verificación:
\((x + 3)(x + 4) = x^2 + 4x + 3x + 12 = x^2 + 7x + 12\) ✅
Ejemplo 1B: Caso con signo negativo
Factorizar: \(x^2 - 7x - 18\)
Paso 1: Identificar qué buscamos
- Producto: \(m \times n = -18\) (negativo)
- Suma: \(m + n = -7\) (negativo)
Como el producto es negativo, uno de los números debe ser positivo y el otro negativo.
Paso 2: Listar factores de -18
\(-18 = (-1) \times 18, \quad (-2) \times 9, \quad (-3) \times 6, \quad (-6) \times 3, \quad (-9) \times 2, \quad (-18) \times 1\)
Paso 3: Probar las sumas
- \((-1) + 18 = 17\) ❌
- \((-2) + 9 = 7\) ❌ (signo incorrecto)
- \((-3) + 6 = 3\) ❌
- \((-6) + 3 = -3\) ❌
- \((-9) + 2 = -7\) ✅
¡Encontramos! \(m = -9, n = 2\)
Resultado: \(x^2 - 7x - 18 = (x - 9)(x + 2)\)
Verificación:
\((x - 9)(x + 2) = x^2 + 2x - 9x - 18 = x^2 - 7x - 18\) ✅
Caso 2: Trinomios con coeficiente principal (\(ax^2 + bx + c\))
Cuando el coeficiente de \(x^2\) no es 1, el proceso es un poco más complejo pero sigue el mismo principio.
La estrategia del producto \(ac\)
Para \(ax^2 + bx + c\):
- Calcula \(ac\) (producto del primer y último coeficiente)
- Busca dos números \(m\) y \(n\) tales que:
- Producto: \(m \times n = ac\)
- Suma: \(m + n = b\)
- Reescribe el término medio y factoriza por agrupación
Ejemplo 2A: Caso básico
Factorizar: \(2x^2 + 7x + 3\)
Paso 1: Calcular \(ac\)
\(a = 2, c = 3 \Rightarrow ac = 2 \times 3 = 6\)
Paso 2: Buscar factores de 6 que sumen 7
\(6 = 1 \times 6, \quad 2 \times 3\)
- \(1 + 6 = 7\) ✅
- \(2 + 3 = 5\) ❌
¡Encontramos! \(m = 1, n = 6\)
Paso 3: Reescribir y agrupar
\(\begin{aligned} 2x^2 + 7x + 3 &= 2x^2 + 1x + 6x + 3 \\ &= (2x^2 + 1x) + (6x + 3) \\ &= x(2x + 1) + 3(2x + 1) \\ &= (2x + 1)(x + 3) \end{aligned}\)
Resultado: \(2x^2 + 7x + 3 = (2x + 1)(x + 3)\)
Verificación:
\((2x + 1)(x + 3) = 2x^2 + 6x + x + 3 = 2x^2 + 7x + 3\) ✅
Ejemplo 2B: Caso con signos negativos
Factorizar: \(6x^2 - 7x - 3\)
Paso 1: Calcular \(ac\)
\(a = 6, c = -3 \Rightarrow ac = 6 \times (-3) = -18\)
Paso 2: Buscar factores de -18 que sumen -7
\(-18 = (-1) \times 18, \quad (-2) \times 9, \quad (-3) \times 6, \quad (-6) \times 3, \quad (-9) \times 2\)
Probando sumas: \((-9) + 2 = -7\) ✅
¡Encontramos! \(m = -9, n = 2\)
Paso 3: Reescribir y agrupar
\(\begin{aligned} 6x^2 - 7x - 3 &= 6x^2 - 9x + 2x - 3 \\ &= (6x^2 - 9x) + (2x - 3) \\ &= 3x(2x - 3) + 1(2x - 3) \\ &= (2x - 3)(3x + 1) \end{aligned}\)
Resultado: \(6x^2 - 7x - 3 = (2x - 3)(3x + 1)\)
Verificación:
\((2x - 3)(3x + 1) = 6x^2 + 2x - 9x - 3 = 6x^2 - 7x - 3\) ✅
Estrategias para desarrollar tu habilidad
1. Memoriza factores comunes
Practica hasta reconocer automáticamente:
- Factores de 6: 1×6, 2×3
- Factores de 8: 1×8, 2×4
- Factores de 12: 1×12, 2×6, 3×4
- Factores de 15: 1×15, 3×5
- Factores de 18: 1×18, 2×9, 3×6
2. Presta atención a los signos
🟢 Si \(c > 0\): Los dos factores tienen el mismo signo que \(b\)
- \(x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)\) (ambos positivos)
- \(x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)\) (ambos negativos)
🔴 Si \(c < 0\): Los factores tienen signos opuestos
- \(x^2 + x - 6 = (x + 3)(x - 2)\) (uno positivo, uno negativo)
3. Usa el “método de prueba rápida”
Antes de hacer toda la factorización por agrupación, prueba combinaciones directas:
Para \(2x^2 + 7x + 3\), intenta:
- \((2x + 1)(x + 3)\) ?
- \((2x + 3)(x + 1)\) ?
Expande mentalmente solo el término medio: \(6x + x = 7x\) ✅
Errores comunes a evitar
1. Olvidar verificar la respuesta
Error: Dejar \((x + 2)(x + 4) = x^2 + 7x + 12\) sin comprobar
Correcto: Siempre expandir para verificar: \((x + 2)(x + 4) = x^2 + 4x + 2x + 8 = x^2 + 6x + 8\) ❌
La respuesta correcta sería \((x + 3)(x + 4)\)
2. Confundirse con los signos
Error: Para \(x^2 - 5x + 6\), usar \((x + 2)(x + 3)\)
Correcto: Si \(c > 0\) y \(b < 0\), ambos factores son negativos: \((x - 2)(x - 3)\)
3. No intentar todas las combinaciones
Error: Rendirse después de la primera combinación que no funciona
Correcto: Lista sistemáticamente todos los factores y prueba cada combinación
4. Usar inspección cuando no es apropiada
Error: Intentar inspección en \(7x^2 + 23x + 6\) (números grandes)
Correcto: Para coeficientes grandes, usar otros métodos como la fórmula cuadrática
Ejercicios de práctica
Nivel Básico (\(x^2 + bx + c\)):
- \[x^2 + 8x + 15\]
- \[x^2 - 6x + 8\]
- \[x^2 + 2x - 15\]
- \[x^2 - x - 12\]
Nivel Intermedio (\(ax^2 + bx + c\)):
- \[2x^2 + 9x + 4\]
- \[3x^2 - 7x + 2\]
- \[2x^2 - x - 3\]
- \[3x^2 + 2x - 8\]
Nivel Avanzado:
- \[6x^2 + 19x + 10\]
- \[4x^2 - 12x + 9\]
Resumen y conclusión
La factorización por inspección es una habilidad fundamental que:
✓ Es el método más rápido cuando los números son pequeños ✓ Se desarrolla con práctica sistemática y memorizar factores comunes ✓ Funciona mejor con coeficientes enteros pequeños ✓ Requiere verificación siempre para evitar errores
Cómo mejorar tu habilidad:
- Memoriza factores de números del 1 al 20
- Practica reconocimiento de signos sistemáticamente
- Desarrolla intuición con ejercicios graduales
- Verifica todas las respuestas expandiendo
Cuándo NO usar inspección:
- Coeficientes muy grandes
- Factores no enteros
- Casos donde otros métodos son más directos
Con práctica constante, la inspección se vuelve una herramienta poderosa que te permitirá factorizar rápidamente la mayoría de trinomios que encuentres en álgebra.
Otros Métodos de Factorización:
Bibliografía Consultada
- Padilla, E., Quesada, C., & Araya, D. (2019). Precálculo Versión Preliminar. EUNED.
- CONAMAT. (2009). Álgebra. Pearson Hispanoamérica.
