¿Por qué cambiar variables?
Imagina que tienes que factorizar \(x^4 - 5x^2 + 4\). A primera vista parece complicado, pero si observas bien, puedes verlo como:
\[(\text{algo})^2 - 5(\text{algo}) + 4\]donde “algo” = \(x^2\). ¡Esto se convierte en un trinomio cuadrático simple que sabemos factorizar!
La factorización por cambio de variable es exactamente esta estrategia: simplificar expresiones complejas sustituyendo partes repetitivas con una variable más simple.
¿Cuándo es útil este método?
Este método es especialmente valioso cuando:
- Otros métodos no funcionan: Factor común, agrupación, diferencia de cuadrados no aplican
- Hay patrones repetitivos: La misma expresión aparece varias veces
- Queremos simplificar: Convertir algo complejo en algo familiar
La idea central del método
El proceso es sorprendentemente simple:
- 🔍 Buscar patrones: ¿Hay expresiones que se repiten?
- 🔄 Simplificar: Llamar a esa expresión “\(u\)”
- ⚙️ Factorizar: El problema se vuelve más fácil
- ↩️ Regresar: Sustituir “\(u\)” por la expresión original
- ✅ Verificar: ¡Siempre confirma tu respuesta!
Cuándo aplicar este método
Busca estas señales que indican que el cambio de variable puede ayudar:
- 🔢 Exponentes dobles: \(x^4, x^6, x^8\) (pueden convertirse en cuadráticas)
- 🔄 Expresiones repetidas: \((x+1)^2, (x+1), (2x-3)^4, (2x-3)^2\)
- 🎯 Patrones familiares ocultos: Algo que “casi” parece un trinomio cuadrático
- ⚠️ Cuando otros métodos fallan: Si factor común y agrupación no funcionan
Ejemplos paso a paso
Ejemplo 1: Polinomio con exponentes dobles (Básico)
Factorizar: \(x^4 - 5x^2 + 4\)
Paso 1: Buscar el patrón
¿Notaste que podemos escribir esto como?
\[(x^2)^2 - 5(x^2) + 4\]Aquí vemos que \(x^2\) aparece dos veces. ¡Este es nuestro patrón!
Paso 2: Hacer el cambio de variable
Llamemos \(u = x^2\)
Entonces \(u^2 = (x^2)^2 = x^4\)
Nuestro polinomio se convierte en: \(u^2 - 5u + 4\)
¡Esto es un trinomio cuadrático simple que sabemos factorizar!
Paso 3: Factorizar el trinomio cuadrático
Buscamos dos números que multiplicados den 4 y sumados den -5: \(-4 \times (-1) = 4\) y \(-4 + (-1) = -5\) ✓
\[u^2 - 5u + 4 = (u - 4)(u - 1)\]Paso 4: Regresar a la variable original
Sustituimos \(u = x^2\):
\[(u - 4)(u - 1) = (x^2 - 4)(x^2 - 1)\]Paso 5: Factorizar completamente
Ambos términos son diferencias de cuadrados:
\[x^2 - 4 = x^2 - 2^2 = (x - 2)(x + 2)\] \[x^2 - 1 = x^2 - 1^2 = (x - 1)(x + 1)\]Resultado final: \((x - 2)(x + 2)(x - 1)(x + 1)\)
Verificación:
Expandiendo: \((x^2 - 4)(x^2 - 1) = x^4 - x^2 - 4x^2 + 4 = x^4 - 5x^2 + 4\) ✓
Ejemplo 2: Expresión con binomio (Intermedio)
Factorizar: \((x+1)^2 - 5(x+1) + 6\)
Paso 1: Identificar el patrón
¿Ves que \((x+1)\) aparece dos veces? ¡Ese es nuestro patrón!
Paso 2: Hacer el cambio de variable
Llamemos \(u = x + 1\)
La expresión se convierte en: \(u^2 - 5u + 6\)
Paso 3: Factorizar el trinomio
Buscamos dos números que multiplicados den 6 y sumados den -5: \(-3 \times (-2) = 6\) y \(-3 + (-2) = -5\) ✓
\[u^2 - 5u + 6 = (u - 3)(u - 2)\]Paso 4: Regresar a la variable original
Sustituimos \(u = x + 1\):
\[(u - 3)(u - 2) = (x + 1 - 3)(x + 1 - 2) = (x - 2)(x - 1)\]Resultado final: \((x - 2)(x - 1)\)
Verificación:
Expandiendo: \((x - 2)(x - 1) = x^2 - x - 2x + 2 = x^2 - 3x + 2\)
Substituyendo \(x + 1 = u\), entonces \(x = u - 1\):
\[(u - 1)^2 - 3(u - 1) + 2 = u^2 - 2u + 1 - 3u + 3 + 2 = u^2 - 5u + 6\]Y finalmente: \((x + 1)^2 - 5(x + 1) + 6\) ✓
Ejemplo 3: Polinomio de grado superior (Intermedio-Avanzado)
Factorizar: \(x^4 + x^2 - 2\)
Paso 1: Identificar el patrón
Podemos escribir esto como: \((x^2)^2 + (x^2) - 2\)
Aquí \(x^2\) es nuestro patrón repetitivo.
Paso 2: Hacer el cambio de variable
Llamemos \(u = x^2\)
La expresión se convierte en: \(u^2 + u - 2\)
Paso 3: Factorizar el trinomio
Buscamos dos números que multiplicados den -2 y sumados den 1: \(2 \times (-1) = -2\) y \(2 + (-1) = 1\) ✓
\[u^2 + u - 2 = (u + 2)(u - 1)\]Paso 4: Regresar a la variable original
Sustituimos \(u = x^2\):
\[(u + 2)(u - 1) = (x^2 + 2)(x^2 - 1)\]Paso 5: Factorizar completamente
\(x^2 - 1\) es una diferencia de cuadrados: \(x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)\)
\(x^2 + 2\) no se puede factorizar más sobre los reales.
Resultado final: \((x^2 + 2)(x - 1)(x + 1)\)
Verificación:
Expandiendo: \((x^2 + 2)(x^2 - 1) = x^4 - x^2 + 2x^2 - 2 = x^4 + x^2 - 2\) ✓
Ejemplo 4: Expresión con trinomio en el cambio (Avanzado)
Factorizar: \((x^2 + 1)^2 - 3(x^2 + 1) + 2\)
Paso 1: Identificar el patrón
¿Ves que \((x^2 + 1)\) aparece dos veces? ¡Ese es nuestro patrón!
Paso 2: Hacer el cambio de variable
Llamemos \(u = x^2 + 1\)
La expresión se convierte en: \(u^2 - 3u + 2\)
Paso 3: Factorizar el trinomio
Buscamos dos números que multiplicados den 2 y sumados den -3: \(-2 \times (-1) = 2\) y \(-2 + (-1) = -3\) ✓
\[u^2 - 3u + 2 = (u - 2)(u - 1)\]Paso 4: Regresar a la variable original
Sustituimos \(u = x^2 + 1\):
\[(u - 2)(u - 1) = (x^2 + 1 - 2)(x^2 + 1 - 1) = (x^2 - 1)(x^2)\]Paso 5: Factorizar completamente
\(x^2 - 1\) es una diferencia de cuadrados: \(x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)\)
Resultado final: \(x^2(x - 1)(x + 1)\)
Verificación:
Expandiendo: \(x^2(x^2 - 1) = x^4 - x^2\)
Sustituyendo \(u = x^2 + 1\):
\[(x^2 + 1)^2 - 3(x^2 + 1) + 2 = u^2 - 3u + 2 = (u-2)(u-1)\]\(=(x^2 + 1 - 2)(x^2 + 1 - 1) = (x^2 - 1)(x^2) = x^4 - x^2\) ✓
Casos avanzados y aplicaciones especiales
Una vez que domines los casos básicos, el cambio de variable se extiende a contextos más avanzados:
Aplicación en trigonometría
Factorizar: \(\sin^4 x - 2\sin^2 x + 1\)
Con \(u = \sin^2 x\):
\[u^2 - 2u + 1 = (u - 1)^2 = (\sin^2 x - 1)^2\]Aplicación en ecuaciones exponenciales
Resolver: \(2^x + 4^x = 72\)
Con \(u = 2^x\):
\[u + u^2 = 72 \Rightarrow u^2 + u - 72 = 0\]Factorizando: \((u - 8)(u + 9) = 0\), entonces \(u = 8\) (ya que \(u = 2^x > 0\))
Por tanto: \(2^x = 8 = 2^3\), así \(x = 3\)
Aplicación en expresiones radicales
Simplificar: \(\frac{\sqrt{x+9} - 3}{x}\)
Con \(u = \sqrt{x+9}\), entonces \(x = u^2 - 9\):
\[\frac{u - 3}{u^2 - 9} = \frac{u - 3}{(u-3)(u+3)} = \frac{1}{u + 3} = \frac{1}{\sqrt{x+9} + 3}\]Errores comunes a evitar
1. Olvidar regresar a la variable original
Error: Dejar la respuesta como \((u - 4)(u - 1)\)
Correcto: Sustituir de vuelta: \((x^2 - 4)(x^2 - 1)\)
2. No factorizar completamente
Error: Dejar \((x^2 - 4)(x^2 - 1)\) como respuesta final
Correcto: Continuar factorizando diferencias de cuadrados: \((x - 2)(x + 2)(x - 1)(x + 1)\)
3. No verificar la respuesta
Error: No comprobar que la factorización es correcta
Correcto: Siempre expandir la respuesta final para verificar
4. Usar cambio de variable innecesario
Error: Intentar cambio de variable en \(x^2 + 3x + 2\)
Correcto: Este se factoriza directamente como \((x + 1)(x + 2)\)
Ejercicios de práctica
Nivel Básico:
- \[x^4 - 10x^2 + 9\]
- \[x^4 + 2x^2 - 8\]
- \[(x - 1)^2 - 4(x - 1) + 3\]
Nivel Intermedio:
- \[x^4 - 6x^2 + 5\]
- \[(2x + 3)^2 - 7(2x + 3) + 12\]
- \[x^6 - 9x^3 + 8\]
Nivel Avanzado:
- \[(x^2 - 2x)^2 - 5(x^2 - 2x) + 6\]
- \[x^8 - 17x^4 + 16\]
Resumen y conclusión
El cambio de variable es una técnica fundamental que:
- ✓ Simplifica expresiones complejas convirtiéndolas en formas conocidas
- ✓ Funciona especialmente bien con patrones repetitivos
- ✓ Se aplica progresivamente: desde polinomios simples hasta casos avanzados
- ✓ Requiere práctica para reconocer cuándo usarlo
- ✓ Siempre debe verificarse el resultado final
Progreso sugerido de aprendizaje:
- Domina polinomios con exponentes dobles (\(x^4\), \(x^6\))
- Practica con binomios elevados (\((x+1)^2\), \((2x-3)^2\))
- Aborda expresiones más complejas progresivamente
- Explora aplicaciones avanzadas cuando tengas confianza
Con la práctica, identificarás rápidamente cuándo un cambio de variable puede transformar un problema complejo en uno simple y familiar.
Otros Métodos de Factorización:
Bibliografía Consultada
- Padilla, E., Quesada, C., & Araya, D. (2019). Precálculo Versión Preliminar. EUNED.
- CONAMAT. (2009). Álgebra. Pearson Hispanoamérica.
