¿Qué es la factorización?
La factorización es un procedimiento matemático que nos ayuda a representar expresiones algebraicas de otra forma, también la factorización ayuda a la eliminar factores que se repiten en las dichas expresiones y ayudan tambien a conocer aquellos números o términos que pueden estar involucrados para llegar a la solución final.
Principalmente, lo que se quiere lograr con la factorización es lograr representar un polinomio como el producto de otros más simples. (Padilla & Otros 2019 pp. 82)
¿Qué es la factorización por factor común?
La factorizar por factor común, es un método de la factorización en donde se desean obtener o determinar aquellos numeros o variables que son “comunes” dentro de las expresiones algebraicas.
Ejemplo 1
Imaginese que se tienen los numeros 2, 4, 6 y 8. ¿Qué tienen en compun estos numeros?
Para el analisis de estos numeros, podemos ver que todos son números divisibles entre dos de la siguiente forma:
\[\dfrac{2}{2}=1, \hspace{1cm} \dfrac{4}{2}=2, \hspace{1cm} \dfrac{6}{2}=3, \hspace{1cm} \dfrac{8}{2}=4\]De esta forma podemos observar que el número que todos tienen en común es el 2, ya que todos son divisibles entre dos.
Ejemplo 2
Ahora bien, analicemos la siguiente expresión:
\[3xy+5xz+7xh-11xp\]¿Qué tienen en común todos los monomios presentados en la expresión anterior?
Como podemos observar, todos los monomios tienen en común la letra \(x\), por lo que podríamos entonces decir que todas las expresiones son divisibles entre \(x\), de la siguiente forma:
\[\dfrac{3xy}{x}=3y, \hspace{1cm} \dfrac{5xz}{x}=5z, \hspace{1cm} \dfrac{7xh}{x}=7h, \hspace{1cm} \dfrac{-11xp}{x}=-11p\]Así mismo podriamos presentarlo de una forma más facil de poder entenderlo, y es que al momento de multiplicar \(3y \cdot x =3xy\) y así sucesivamente con cada uno de los factores del polinomio, por lo que si lo expresamos como una multiplicación, aplicando la propiedad distributiva; entonces podremos representarlo de la siguiente forma:
\[3xy+5xz+7xh-11xp=x(3y+5z+7h-11p)\]Y así es como aplicamos la factorización por factor común.
NOTA: Para poder aplicar la factorización por factor común, debemos comprender que el término que sea común debe estar presente en todos los factores o érminos del polinomio.
Ejemplo 3
En muchas ocaciones, vamos a tener polinomios términos con exponentes diferentes a 1, por lo que en ese caso; debemos aplicar las propiedades de las potencias y extraer el mayor factor común . Por ejemplo, imaginemos que tenemos la expresión \(zx^3+yx^5\)
Se sabe que el término \(zx^3=x\cdot x \cdot x \cdot z \hspace{0.5cm}\) y que \(\hspace{0.5cm}yx^5=x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot y, \hspace{0.5cm}\) entonces si queremos encontrar los términos que se encuentran en común en ambos monomios entonces podemos decir que es \(x^3=x \cdot x \cdot x, \hspace{0.5cm}\) por lo que la factorización correspondiente será:
\[zx^3+yx^5=x^3(z+yx^2)\]Observese que si multiplicamos \(x^3 \cdot yx^2=yx^5\) y de la misma forma si multiplicamos \(x^3 \cdot z=zx^3\)
Ejemplo 4
Factorice completamente la expresión \(8x^{6}y^{5}z^{7}+16x^{3}y^{7}z^{4}\)
SOLUCIÓN
\[8x^{6}y^{5}z^{7}+16x^{3}y^{7}z^{4}\]\(=8 x^{3}x^{3}y^{5}z^{4}z^{3}+8 \cdot 2x^{3}y^{5}y^{2}z^{4} \hspace {1.5cm}\) aplicando las leyes de potencia.
\(=8x^{3}y^{5}z^{4}(x^{3}z^{3}+2y^{2}) \hspace{1.5 cm}\) Aplicando la ley distributiva y obteniendo el mayor factor común entre los términos.
Referencias bibliográficas
Padilla. E. M. & Otros (2019). Precálculo versión preliminar. EUNED.
