Recientemente, aprobé el curso de Geometría Euclídea I (03420) y decidí sacar el rato para hacer una breve reseña que tal vez pueda ser útil a otros estudiantes que apenas están considerando llevarlo por primera vez.
Descripción General del Curso
La finalidad principal de este curso es dotar a los estudiantes de un entendimiento básico de la Geometría Euclidiana, así como habilidades para efectuar demostraciones simples de teoremas y proposiciones vinculadas a este campo. Se pretende que los alumnos reconozcan la relevancia de la Geometría Euclidiana como un pilar fundamental en la estructura axiomática de las Matemáticas.
Los objetivos específicos de aprendizaje del curso son:
- Familiarizarse con los componentes esenciales de la geometría euclidiana y sus interconexiones, lo cual es crucial para resolver ejercicios y problemas que requieren la comprobación y demostración de proposiciones, además de la creación de estrategias didácticas.
- Reformular en sus propias palabras los postulados y teoremas referentes a los distintos tipos de ángulos y sus interrelaciones, lo cual es esencial para abordar ejercicios y problemas prácticos.
- Distinguir las diversas características de los triángulos, incluyendo sus criterios de semejanza y congruencia, para la resolución de ejercicios y problemas prácticos.
- Identificar las propiedades de líneas paralelas, perpendiculares y cuadriláteros, lo cual es vital para solucionar ejercicios y problemas prácticos.
- Comprender los postulados y teoremas relacionados con áreas y perímetros de figuras poligonales, lo cual es necesario para calcular medidas, demostrar teoremas y diseñar actividades didácticas.
- Entender las definiciones, teoremas y postulados acerca del círculo, la circunferencia y sus componentes, lo cual es clave para la resolución de ejercicios y problemas prácticos.
En conclusión, este curso se centra en brindar una comprensión profunda de los conceptos clave de la Geometría Euclidiana, poniendo especial énfasis en la habilidad de los estudiantes para aplicar estos conceptos en la solución de problemas y en la ejecución de demostraciones geométricas.
Libro del Curso
La Unidad Didáctica Modular (UDM) es el libro Geometría Euclídea I de Eugenio Rojas Mora y Ronald Sequeira Salazar. Desafortunadamente, el libro no existe en formato digital, pero aquellos que deseen conseguirlo anticipadamente, lo pueden comprar en la Librería Virtual de la UNED. Si lo compran en línea, la UNED lo enviará a la puerta de sus casas.
El libro tiene seis capítulos y alrededor de 300 páginas y durante el cuatrimestre se cubre todo su contenido.
- Capítulo 1: Elementos Básicos de Geometría Euclídea.
- Capítulo 2: Ángulos y Triángulos.
- Capítulo 3: Rectas Paralelas y Perpendiculares.
- Capítulo 4: Cuadriláteros y Áreas de Regiones Poligonales.
- Capítulo 5: Semejanza de Triángulos.
- Capítulo 6: Círculo y Circunferencia.
Evaluación
La evaluación consistió en los siguientes instrumentos:
| Instrumento | Puntaje | Edición |
|---|---|---|
| Quiz 1 | 0.25 | 2023-II |
| Quiz 2 | 0.25 | 2023-II |
| Quiz 3 | 0.25 | 2023-II |
| Quiz 4 | 0.25 | 2023-II |
| Quiz 5 | 0.25 | 2023-II |
| Quiz 6 | 0.25 | 2023-II |
| Tarea 1 | 0.5 | 2023-II |
| Tarea 2 | 0.5 | 2023-II |
| Tarea 3 | 0.5 | 2023-II |
| Taller 1 | 0.5 | 2023-II |
| Taller 2 | 0.5 | 2023-II |
| Comprensiva 1 | 2.0 | 2023-II |
| Comprensiva 2 | 2.0 | 2023-II |
| Comprensiva 3 | 2.0 | 2023-II |
Haz clic en los enlaces proporcionados para ver solucionarios y ejemplos de los instrumentos en cuestión. Los enlaces apuntan a recursos en el OneDrive de la UNED, así que necesitarás ingresar con tu cuenta institucional para tener acceso a estos recursos.
- Los quizzes son lo que, usualmente, llamamos “actividad en plataforma”, y que son preguntas con selección de respuesta única. Con frecuencia, los quizzes comprueban que se ha leído y comprendido el material de un capítulo del libro. El quiz es relativamente sencillo si se ha estudiado el material de un módulo, sin embargo, no se deben tomar a la ligera, porque es fácil equivocarse y perder puntos valiosos. Es mejor hacerlos hasta haber completado la lectura de los capítulos que se cubren y tener claro el material bajo estudio.
- Los talleres consistieron en escribir un taller para estudiantes de secundaria aplicando alguno de los conceptos estudiados en alguno de los módulos bajo estudio.
- Las tareas son un instrumento muy similar a una comprensiva, con cinco o seis problemas a resolver, solo que se concede una semana de tiempo para entregarla. Algunos problemas pueden tener grados de dificultad alto, así que es bueno comenzarlas tan pronto como sea posible.
- Las comprensivas son exámenes cronometrados que usualmente contienen cinco problemas del material correspondiente a una unidad de estudio y que se realizan en un día sábado de 6 AM a 12 PM. A menudo los problemas son adaptaciones de problemas de olimpiadas matemáticas, entonces, usualmente, no son problemas sencillos de resolver.
Prerrequisitos y Nivel de Dificultad
De acuerdo con el plan de estudios de la carrera de Enseñanza de la Matemática, este curso tiene como prerrequisito haber aprobado el curso de Matemática Introductoria (03463). El curso tiene un valor de 4 créditos, entonces se supone que el curso demanda al menos 12 horas de trabajo semanal.
Dada la longitud del temario, la numerosa cantidad de evaluaciones, y el nivel de complejidad de los problemas y asignaciones, el curso me pareció demandante, y de un nivel de dificultad medio-alto.
Quien decida matricular este curso debe considerar con mucho detenimiento su carga curricular, porque Geometría Euclídea I no es un curso fácil de aprobar y, de hecho, hay estudiantes que lo han perdido múltiples veces.
Desafíos y Dificultades
En mi experiencia, los siguientes fueron los aspectos más retadores del curso
- Demanda de trabajo: el curso tiene un alto número de instrumentos de evaluación y, por lo general, en mi agenda semanal siempre había al menos dos objetivos simultáneos del curso en los que tenía que trabajar. Lo más común es tener que cubrir en profundidad el material de un capítulo del libro, prepararse para el quiz que cierra los viernes por la noche y al mismo tiempo avanzar los problemas de alguna tarea o taller, todo al mismo tiempo.
- Nivel de dificultad: los problemas, tanto en las tareas como en las comprensivas, no son fáciles de resolver. Según entiendo, muchos son adaptaciones de problemas de olimpiadas matemáticas. En mi caso personal, resolver un solo problema podría tomarme entre dos y tres horas. Por eso, aprobar las comprensivas con buenas notas no es sencillo, y para aprobar las tareas con buenas notas no se pueden dejar las cosas para último minuto.
- Nivel de ambigüedad: particularmente los talleres tienen instrucciones un poco ambiguas. Los tutores proporcionan montones de información, pero ni un solo ejemplo del tipo de documento que esperan recibir. Es difícil sacar una nota perfecta a pesar de los esfuerzos realizados, porque el tutor siempre puede apuntar a algún aspecto que no se hizo a la altura de sus expectativas en el documento final.
- Vacíos curriculares: existen algunas habilidades matemáticas y conocimientos que parecen fundamentales para tener éxito en el curso y que, por desgracia, no se introducen apropiadamente al iniciar el curso y que pueden perjudicar al estudiante. Por ejemplo, el programa no cubre formalmente la habilidad de realizar demostraciones, ni introduce algunos conceptos básicos de lógica proposicional y teoría de conjuntos. Llenar estos vacíos requiere dedicar esfuerzo adicional en un curso que ya de por sí es demandante. Adicionalmente, mientras se alcanza un dominio de estas habilidades, es fácil perder puntos en las tareas y comprensivas por errores relacionados con estos temas.
- Velocidad para resolver problemas: uno de los aspectos clave en este curso es que la tarea comprensiva tiene cinco problemas y hay seis horas para resolverlos. Quitando algo de tiempo para descargar el archivo, leerlo con detenimiento, y para crear el PDF final, la realidad es que apenas hay poco más de una hora por problema. Sin embargo, mi máxima velocidad resolviendo problemas del nivel de dificultad de las comprensivas solía ser de dos o tres horas por problema. En el mejor de los casos logré resolver tres y completar una buena parte del cuarto. Entonces, no puedo enfatizar esto lo suficiente: para obtener una nota sobresaliente en este curso no basta con entender el material, o ser capaz de resolver los problemas, además se debe aprender a resolverlos en tiempo record para poder aspirar a buenos resultados en las comprensivas. Mi consejo es que si te quedaste pegado en un problema más de 20 minutos, es mejor moverse a otro problema. Es posible ganar puntos en los problemas aunque no se resuelvan enteramente, pero es fácil obstinarse en resolver un problema en el que uno esta bloqueado y perder tiempo valioso que te impedirá trabajar en otros, potencialmente más accesibles. Hay que realizar las comprensivas estratégicamente y trabajar en mejorar la velocidad para resolver problemas tanto como se pueda.
- Frustración y pérdida de confianza: en muchas ocasiones sentí que el nivel de dificultad de las comprensivas estaba más allá de la capacidad que pude desarrollar durante el periodo de estudio otorgado para la evaluación. Solía terminar las comprensivas habiendo completado como máximo tres problemas de cinco. Experimenté frustración y pérdida de confianza al darme cuenta de que mis grandes esfuerzos no eran suficientes para resolver todos los problemas de una comprensiva a tiempo. Mejoré mi velocidad marginalmente. Pero al final, mi estrtegia aquí fue mejor mirar al aprendizaje que estaba experimentando como la medida del éxito. Fui reflexivo sobre en qué aspectos podía estar fallando, e hice esfuerzos por combatir esas debilidades y pude ver que mis resultados mejoraron gradualmente durante el cuatrimestre. Entonces creo que la autoreflexión y la adapatabilidad son clave. Para combatir estos sentimientos negativos, conviene concentrarse en lo que uno está mejorando y aprendiendo y no tanto en lo que uno aún no puede hacer. Mejorar la velocidad de resolución de problemas toma tiempo, requiere dominar los postulados, definiciones y teoremas al dedillo, además de reconocer patrones comunes en los problemas, y de aprender a razonar de formas creativas al enfrentarlos. Todo esto toma tiempo y práctica, y en mi caso no pude desarrollar suficiente habilidad para superar las comprensiva como hubiera querido.
Consejos para el Éxito
Realmente le puse una gran dedicación a este curso, y sin duda reconozco haber experimentado un gran aprendizaje. Quisiera decirles que pasé con una nota sobresaliente, pero en este curso es realmente difícil conseguir ese resultado. Mi nota final fue de 7.5. Pienso que se debe, en su mayoría, aque nunca logré desarrollar suficiente velocidad para resolver todos los problemas de las comprensivas. Sé que algunos otros compañeros míos tuvieron resultados similares al que obtuve, lo que me hace pensar que pertenecemos al promedio de estudiantes que suele aprobar el curso. Sin importar el resultado, pienso que la experiencia de llevar el curso y aprobarlo me acredita para comentar sobre lo que yo creo que son buenos consejos para el éxito y para lograr aprobar el curso, idealmente, con mejores resultados a los que yo obtuve.
- Mantenerse al día con el cronograma: el paso del curso es agresivo, y la mayoría de los instrumentos de evaluación no son fáciles de resolver. Si se acumulan las lecturas y el trabajo para última hora, se puede volver muy difícil completar las cosas a tiempo, o recobrar el balance del tiempo perdido.
- Pulsear puntos de quizzes, tareas y talleres: las comprensivas son un hueso duro de roer en este curso. Hay que buscar ganar tantos puntos como sea posible en los otros instrumentos que son de un grado de dificultad menor. Para muchos, el curso tendrá un final de fotografía, y cada punto que se pierda puede ser la razón por la que se pierde el curso.
- Dominar las demostraciones geométricas: el dominio de cómo escribir demostraciones geométricas no se cubre en ninguna parte del libro, pero es una habilidad fundamental para tener éxito en el curso. Invertir algunas calorías extras en dominar como escribirlas apropiadamente es una forma de evitar perder puntos en las tareas y en las comprensivas. Además, vale la pena aprender a escribir demostraciones sucintas y de forma eficiente porque en mi caso solía dar demasiadas explicaciones en mis demostraciones y eso me robaba minutos valiosos para resolver otros problemas. Entonces, aprender a ser efectivo en la escritura de demostraciones puede hacer la diferencia en el número de ejercicios que uno logra resolver durante estos exámenes cronometrados.
- Escribir fichas indexadas con postulados, definiciones y teoremas: al final del curso yo tenía fichas para 38 postulados, 99 definiciones y 108 teoremas que en muchos problemas uno necesita manejar al dedillo para poder resolverlos. Al paso que avanza el curso, no es sencillo sabérselos todos de memoria, por lo que al estudiar un capítulo, es buena idea ir escribiendo tus propias fichas indexadas con estos postulados, definiciones y teoremas. De esta forma se hace fácil consultarlos durante los quizzes, tareas, o comprensivas, en vez de andar buscando como loco en cuál página del libro está ese teorema fundamental que uno necesita aplicar para completar un ejercicio. Algunos teoremas están relacionados entre sí, y el libro no hace un gran trabajo de enseñarlos de una manera ordenada que haga fácil su aprendizaje. Al escribir las notas, siempre se puede optimizar su organización para agrupar teoremas relacionados en una misma ficha.
Otros Libros Recomendados
- Introducción a la Geometría Euclídea de Teodora Tsijli Angelaki y Manuel Murillo Tsijli. En español, es la mejor alternativa a la UDM que encontré. Este libro se puede comprar, tanto físico como en formato digital, en la página de la Editorial del Tecnológico de Costa Rica. Si lo compras físico, la editorial se encarga de enviarlo a la puerta de la casa. Este libro cubre todo el mismo material que la UDM y, para mi gusto, en muchos aspectos es superior a la UDM. Así que vale la pena tenerlo disponible, incluso si solo es para referencia o como obra de consulta adicional.
- Geometría Euclidiana Para Olimpiadas Matemáticas de Darío Durán Cepeda es uno de los libros citados en las Orientaciones Académicas del curso y que aparentemente sirve de base para el tipo de problemas que se presentan en las tareas y comprensivas.
En mi caso, utilicé otros libros clave en mi preparación. Desafortunadamente, estos libros solo están en idioma inglés; sin embargo, con tecnologías como Google Translate y ChatGPT es posible traducir las secciones relevantes con facilidad. Por ejemplo, pueden tomar un pantallazo de una página del libro y luego subirla a ChatGPT y pedirle que se las traduzca al español, lo cual hace magistralmente bien.
- A First Course in Geometry de Edward T. Walsh se puede adquirir tanto en formato físico como digital en la página de la editorial Dover Books. Este libro cubre todo el mismo material que la UDM pero de una forma magistralmente superior, en explicaciones, ejemplos y ejercicios. Para mi gusto, este fue el mejor libro alternativo en mi biblioteca que usé en mi preparación durante este curso.
- Everything You Need to Ace Geometry in One Big Fat Notebook: es un excelente libro para estudiar la mayoría de los teoremas que se necesita aprender durante este curso. El libro es muy visual, bellamente diseñado, y simplifica el aprendizaje de muchos teoremas increíblemente. Además agrupa y representa los teoremas de una forma que tiene muchísimo más sentido que como lo hace la UDM, lo cual ayuda mucho en el aprendizaje de los mismos. Honestamente, este libro fue uno de mis favoritos todo el cuatrimestre y nunca dejó mi escritorio mientras llevé el curso. Lo consulté incontables veces y lo utilicé para mejorar muchas de mis fichas de los teoremas que venían en la UDM. Además el libro ofrece ayuda en el tema de cómo hacer demostraciones geométricas utilizando al menos tres técnicas diferentes.
- Geometry for Dummies de Mark Ryan es un excelente libro que me ayudó, sobre todo, a aprender como hacer demostraciones geométricas. Se dedican varios capítulos del libro a este tema y se ofrecen ejemplos sencillos y prácticos. Aunque el libro cubre muchos de los teoremas que se ven en el curso, yo lo utilicé primordialemente para el dominio del tema de demostraciones.
Otros Solucionarios
A continuación algunos solucionarios adicionales de ediciones anteriores del curso.
| Instrumento | Edición |
|---|---|
| Tarea 1 | 2022-III |
| Tarea 2 | 2022-III |
| Tarea 3 | 2022-III |
| Comprensiva 1 | 2022-III |
| Comprensiva 2 | 2022-III |
| Comprensiva 3 | 2022-III |
Otras Herramientas
Las siguientes herramientas tecnológicas pueden resultar útiles:
- Geogebra: lo utilicé muchas veces para diagramar las hipótesis de los problemas que deseaba estudiar a mayor profundidad o simplemente para comprobar si mis deducciones eran correctas. La diagramación de algunos problemas puede ser intricada y se requiere tener mucho cuidado a fin de asegurarse que el diagrama efectivamente es una representación real de las hipótesis del problema bajo estudio. Consideren, por ejemplo, este diagrama que desarrollé para uno de los problemas.
- Symbolab: tienen una calculadora geométrica que permite ingresar las hipótesis de un problema y hace un esfuerzo por demostrar la tesis. Honestamente, solo logré hacerlo funcionar para problemas relativamente sencillos, pero en algunas ocasiones me ayudó a descubrir deducciones útiles.
Si Deseo Llevar el Curso
Si ya has aprobado Matemática Introductoria (03463) y deseas llevar el curso de Geometría Euclídea I (03420), te recomiendo que visites los siguientes enlaces:
- Orientaciones Académicas: para ver el programa del curso.
- Oferta Anual de Asignatura: para comprobar disponibilidad del curso.
- Formulario de Autorización de Matrículas: para solicitar que se te habilite el curso para matrícula.
Material Adicional
El siguiente es material adicional que los tutores hicieron disponible en la plataforma virtual para que los estudiantes pudiéramos estudiar algunos temas a mayor profundidad.
- Geometría Euclídea
- Historia de la Geometría
- Postulado de la Regla
- Demostraciones a Dos Columnas
- Ángulos, Propiedades y Ejercicios Resueltos
- Tipos de Ángulos
- Ejercicios de Ángulos 1
- Ejercicios de Ángulos 2
- Vídeos sobre Congruencia de Triángulos
- Ejemplo de Demostración de la Congruencia de dos Triángulos
- Demostraciones de Congruencia I
- Demostraciones de Congruencia II
- Demostraciones Geométricas Congruencia Ángulos
- Demostraciones Geométricas Congruencia Triángulos 1
- Demostraciones Geométricas Congruencia Triángulos 2
- Diseño de una Clase Empleando Resolución de Problemas
- Teorema de la Mediatriz
- Teorema de la Bisectriz
- Demostración paralelogramo
- Comprobación Lados Opuestos de Paralelogramo Congruentes
- Diagonales de Paralelogramo se Bisecan entre sí
- Ejercicio de Demostración Geométrica sobre Cuadriláteros
- Áreas de Regiones Sombreadas
- Relación entre Áreas de Regiones Triangulares
- Relación entre áreas triangulares
- Área de Polígonos Irregulares: Fórmula de Herón
- Ejercicios Resueltos de Polígonos
- Construcción de Triángulos Semejantes
- Aplicando Teorema de Tales
- Problemas de Homotecia
- Demostraciones de Semejanza
- Geometría: Aplicando Semejanza de Triángulos
- Seis Demostraciones del Teorema de Pitágoras
- ¿Por Qué es Importante el Teorema de Pitágoras
- Teorema de Pitágoras - Demostración con Semejanza de Triángulos
- Teorema de Pitágoras y Triángulos Especiales
- Triángulos en el Círculo
- Ejercicio de Círculos
- Ejercicios Básicos de Circunferencia
- Ejercicio de Demostración Geométrica sobre Rectas y Segmentos
¿Que hay de ti? ¿Cómo fue tu experiencia llevando el curso? ¿Tienes alguna anécdota o referencia valiosa que te gustaría compartir? Déjanos tus comentarios para enriquecer esta entrada del blog.
