Precálculo 1
Nivel Básico
Domina los fundamentos matemáticos esenciales para el cálculo: conjuntos numéricos, valor absoluto, distancia y operaciones con números reales.
Contenido del Curso
Conjuntos Numéricos
Exploraremos los diferentes tipos de números que conforman el sistema numérico real, sus relaciones y propiedades fundamentales.
1.1 ¿Qué es un Conjunto?
En matemáticas, un conjunto es una colección bien definida de objetos llamados elementos o miembros. La noción de conjunto fue formalizada por Georg Cantor a finales del siglo XIX y es la base de prácticamente toda la matemática moderna.
Un conjunto es una colección bien determinada de objetos distintos, llamados elementos. Si \(a\) es un elemento del conjunto \(A\), escribimos \(a \in A\). Si \(a\) no es elemento, escribimos \(a \notin A\).
Formas de representar un conjunto
Se listan explícitamente todos sus elementos entre llaves.
Para conjuntos infinitos o muy grandes se usa elipsis: \(\mathbb{N} = \{1, 2, 3, 4, \ldots\}\)
Se describe la propiedad que deben cumplir los elementos.
donde \(P(x)\) es una proposición que define la propiedad. Por ejemplo:
1.2 Los Números Naturales (\(\mathbb{N}\))
Los números naturales son los números de contar. Según la convención más común en análisis matemático:
Nota: Algunos textos excluyen el 0. En cursos de precálculo UNED, \(\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\}\).
Los números naturales satisfacen los Axiomas de Peano, que garantizan su estructura ordenada y la posibilidad de hacer aritmética. Propiedades clave:
- Son cerrados bajo la adición y multiplicación.
- Tienen un elemento mínimo (0 o 1, según la convención).
- Son infinitamente numerables (tienen la misma cardinalidad que \(\mathbb{Z}\)).
- No son cerrados bajo la resta: \(3 - 5 \notin \mathbb{N}\).
1.3 Los Números Enteros (\(\mathbb{Z}\))
Los números enteros extienden a los naturales incorporando los números negativos:
La letra \(\mathbb{Z}\) proviene del alemán Zahlen (números). Los enteros son cerrados bajo suma, resta y multiplicación, pero no bajo la división. Se tienen los subconjuntos:
Claramente \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}\) (los naturales son subconjunto de los enteros).
1.4 Los Números Racionales (\(\mathbb{Q}\))
Un número es racional si puede expresarse como el cociente de dos enteros con denominador no nulo:
La letra \(\mathbb{Q}\) proviene del latín quotiēns (cociente). Toda fracción, decimal finito y decimal periódico es un número racional.
| Tipo de racional | Forma decimal | Ejemplo |
|---|---|---|
| Fracción propia | \(\frac{p}{q},\; |p|< q\) | \(\frac{3}{4} = 0.75\) |
| Fracción impropia | \(\frac{p}{q},\; |p|\geq q\) | \(\frac{7}{3} = 2.\overline{3}\) |
| Entero | Decimal que termina en .000… | \(\frac{-6}{2} = -3\) |
| Decimal periódico | \(0.\overline{142857} = \frac{1}{7}\) | \(0.\overline{3} = \frac{1}{3}\) |
Entre dos números racionales distintos siempre existe otro número racional. Formalmente: si \(a, b \in \mathbb{Q}\) con \(a < b\), entonces \(\frac{a+b}{2} \in \mathbb{Q}\) y \(a < \frac{a+b}{2} < b\).
1.5 Los Números Irracionales (\(\mathbb{I}\))
Un número real es irracional si no puede expresarse como cociente de dos enteros. En notación: \(\mathbb{I} = \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\).
Los números irracionales tienen representación decimal infinita no periódica. Los más famosos son:
Demostración por contradicción: Supongamos que \(\sqrt{2} = \frac{p}{q}\) con \(\operatorname{mcd}(p,q)=1\). Entonces \(2q^2 = p^2\), lo que implica que \(p^2\) es par, por lo tanto \(p\) es par. Sea \(p = 2k\), entonces \(2q^2 = 4k^2 \Rightarrow q^2 = 2k^2\), luego \(q\) también es par. ¡Contradicción con \(\operatorname{mcd}(p,q)=1\)! Por lo tanto \(\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}\). \(\square\)
1.6 Los Números Reales (\(\mathbb{R}\))
El conjunto de los números reales es la unión de los racionales y los irracionales:
donde \(\mathbb{Q} \cap \mathbb{I} = \emptyset\) (son conjuntos disjuntos).
Jerarquía de los Conjuntos Numéricos
Cada conjunto está contenido en el siguiente, pero ninguno es igual al anterior.
1.7 Subconjuntos de ℝ: Intervalos
Un intervalo es un subconjunto de \(\mathbb{R}\) formado por todos los números reales comprendidos entre dos valores dados. Usamos corchetes cuadrados según si los extremos están incluidos o excluidos.
Dados \(a, b \in \mathbb{R}\) con \(a < b\):
| Tipo | Notación | Descripción | Representación |
|---|---|---|---|
| Abierto | \(\left]a,\, b\right[\) | \(\{x \in \mathbb{R} \mid a < x < b\}\) | Ambos extremos excluidos ○———○ |
| Cerrado | \(\left[a,\, b\right]\) | \(\{x \in \mathbb{R} \mid a \leq x \leq b\}\) | Ambos extremos incluidos ●———● |
| Semiabierto | \(\left[a,\, b\right[\) | \(\{x \in \mathbb{R} \mid a \leq x < b\}\) | Izquierda incluida, derecha excluida ●———○ |
| Semiabierto | \(\left]a,\, b\right]\) | \(\{x \in \mathbb{R} \mid a < x \leq b\}\) | Izquierda excluida, derecha incluida ○———● |
| Infinito abierto | \(\left]a,\, +\infty\right[\) | \(\{x \in \mathbb{R} \mid x > a\}\) | ○→→→→ (sin límite derecho) |
| Infinito cerrado | \(\left[a,\, +\infty\right[\) | \(\{x \in \mathbb{R} \mid x \geq a\}\) | ●→→→→ (sin límite derecho) |
| Infinito izquierdo | \(\left]-\infty,\, b\right[\) | \(\{x \in \mathbb{R} \mid x < b\}\) | ←←←○ (sin límite izquierdo) |
| Recta real completa | \(\left]-\infty,\, +\infty\right[\) | \(\mathbb{R}\) | ←←←←→→→→ (toda la recta) |
Representación visual de intervalos en la recta
1.8 Ejercicios Resueltos Paso a Paso
\(5\) es un número positivo sin decimales. Es de conteo → pertenece a \(\mathbb{N}\). Como \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\), pertenece a todos.
\(-3\) es negativo, entonces \(-3 \notin \mathbb{N}\). Pero es entero: \(-3 \in \mathbb{Z}\). Como \(\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\):
Es un cociente de enteros con denominador \(\neq 0\), por definición \(\frac{2}{7} \in \mathbb{Q}\). No es entero, así que \(\frac{2}{7} \notin \mathbb{Z}\).
¿Es \(\sqrt{5}\) racional? No existe \(\frac{p}{q}\) tal que \(\left(\frac{p}{q}\right)^2=5\) (5 no es cuadrado perfecto). Su decimal es \(2.2360679\ldots\) no periódico.
Decimal finito: \(0.6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}\). Es racional pero no entero.
\(\sqrt{9} = 3\) (cuadrado perfecto), entonces \(-\sqrt{9} = -3 \in \mathbb{Z}\). (mismo caso que el número 2)
¿Dónde cae cada resultado?
Restamos dos naturales: \(5 - 8 = -3\). El resultado es negativo, por lo que sale de \(\mathbb{N}\). Pero \(-3 \in \mathbb{Z}\).
\(3 \div 4 = \frac{3}{4} = 0.75\). No es entero, sale de \(\mathbb{Z}\). Pero \(\frac{3}{4} \in \mathbb{Q}\).
Producto de dos negativos: \((-2)\times(-3) = +6 \in \mathbb{N}\).
Los elementos \(2,4,6,8,10\) son pares y positivos, el mayor es 10. Son múltiplos de 2 entre 1 y 10.
Son todos los enteros pares (múltiplos de 2), sin restricción.
Evaluación de la Lección 1
10 preguntas sobre conjuntos numéricos. Necesitas al menos 7/10 para aprobar y desbloquear la siguiente lección.
Valor Absoluto
Estudiaremos la recta numérica real, la relación de orden en ℝ y las propiedades fundamentales del valor absoluto.
2.1 La Recta Numérica Real
La recta numérica es una representación geométrica del conjunto \(\mathbb{R}\). Existe una correspondencia biunívoca (uno a uno) entre los números reales y los puntos de una línea recta. Esta correspondencia es posible gracias al Axioma de Completitud de los reales.
Los puntos dorados discontinuos representan irracionales; los enteros están en las marcas sólidas.
Todo número real tiene un punto en la recta y todo punto de la recta corresponde a un número real. No hay "huecos". Esto distingue a \(\mathbb{R}\) de \(\mathbb{Q}\), que sí tiene huecos (los irracionales).
2.2 Relación de Orden en los Números Reales
En la recta numérica, existe un orden natural: los números más a la derecha son mayores. Esta idea se formaliza mediante los axiomas de orden.
Dados \(a, b \in \mathbb{R}\), decimos que \(a < b\) (a es menor que b) si y solo si \(b - a\) es un número real positivo. Equivalentemente, \(a\) está a la izquierda de \(b\) en la recta numérica.
| Símbolo | Significado | Ejemplo |
|---|---|---|
| \(a < b\) | \(a\) es estrictamente menor que \(b\) | \(-3 < 1\) |
| \(a > b\) | \(a\) es estrictamente mayor que \(b\) | \(\pi > 3\) |
| \(a \leq b\) | \(a\) es menor o igual que \(b\) | \(2 \leq 2\) |
| \(a \geq b\) | \(a\) es mayor o igual que \(b\) | \(5 \geq -1\) |
| \(a = b\) | \(a\) y \(b\) representan el mismo número | \(\frac{4}{2} = 2\) |
Para todo \(a, b, c \in \mathbb{R}\):
- Tricotomía: exactamente una de: \(a < b\), \(a = b\) o \(a > b\).
- Transitividad: si \(a < b\) y \(b < c\), entonces \(a < c\).
- Monotonía aditiva: si \(a < b\), entonces \(a + c < b + c\).
- Monotonía multiplicativa: si \(a < b\) y \(c > 0\), entonces \(ac < bc\).
- Inversión por negativo: si \(a < b\) y \(c < 0\), entonces \(ac > bc\).
2.3 Definición del Valor Absoluto
El valor absoluto de un número real \(x\), denotado \(|x|\), se define como:
Geométricamente, \(|x|\) representa la distancia desde el origen hasta el punto \(x\) en la recta numérica.
Ejemplos directos:
2.4 Propiedades del Valor Absoluto
Para todo \(a, b \in \mathbb{R}\) y \(n \in \mathbb{Z}\):
| # | Propiedad | Expresión Matemática |
|---|---|---|
| P1 | No negatividad | \(|a| \geq 0\) y \(|a| = 0 \Leftrightarrow a = 0\) |
| P2 | Simetría | \(|-a| = |a|\) |
| P3 | Multiplicatividad | \(|a \cdot b| = |a| \cdot |b|\) |
| P4 | Cociente | \(\left|\dfrac{a}{b}\right| = \dfrac{|a|}{|b|},\; b \neq 0\) |
| P5 | Potencia | \(|a^n| = |a|^n\) |
| P6 | Desigualdad Triangular | \(|a + b| \leq |a| + |b|\) |
| P7 | Desig. Triangular Inversa | \(\big||a| - |b|\big| \leq |a - b|\) |
| P8 | Cuadrado | \(|a|^2 = a^2\) |
| P9 | Raíz cuadrada | \(\sqrt{a^2} = |a|\) |
Sea \(k > 0\):
- \(|x| = k \Leftrightarrow x = k\) ó \(x = -k\)
- \(|x| < k \Leftrightarrow -k < x < k \Leftrightarrow x \in \left]-k,\, k\right[\)
- \(|x| > k \Leftrightarrow x < -k\) ó \(x > k \Leftrightarrow x \in \left]-\infty,\,-k\right[ \cup \left]k,\,+\infty\right[\)
- \(|x| \leq k \Leftrightarrow -k \leq x \leq k \Leftrightarrow x \in \left[-k,\, k\right]\)
- \(|x| \geq k \Leftrightarrow x \leq -k\) ó \(x \geq k \Leftrightarrow x \in \left]-\infty,\,-k\right] \cup \left[k,\,+\infty\right[\)
- Abierto: \(\left]a,\, b\right[\) — extremos excluidos (equivalente anglosajón: \((a,b)\))
- Cerrado: \(\left[a,\, b\right]\) — extremos incluidos
- Semiabierto: \(\left[a,\, b\right[\) ó \(\left]a,\, b\right]\) — un extremo incluido y otro excluido
- Infinito: \(\left]-\infty,\, a\right[\), \(\left]a,\,+\infty\right[\), etc. — el infinito siempre va con corchete abierto \(]\) ó \([\) porque \(\pm\infty \notin \mathbb{R}\)
2.5 Ejercicios Resueltos Paso a Paso
Primero evaluamos la expresión interior: \(3 - 7 = -4\). Como \(-4 < 0\), por definición \(|{-4}| = -(-4) = 4\).
Por la propiedad P4: \(\left|\frac{-15}{5}\right| = \frac{|-15|}{|5|} = \frac{15}{5} = 3\). O bien: \(\frac{-15}{5} = -3\), luego \(|-3|=3\).
Por la propiedad P9: \(\sqrt{a^2} = |a|\). Entonces \(\sqrt{(-4)^2} = |-4| = 4\). Nota: No es \(-4\), porque la raíz cuadrada siempre devuelve valor no negativo.
\(|-8| = 8\) y \(|3| = 3\). Sumamos: \(8 + 3 = 11\).
Por el Teorema 2.2: \(|2x-3|=7 \Leftrightarrow 2x-3=7\) ó \(2x-3=-7\)
\(2x - 3 = 7 \Rightarrow 2x = 10 \Rightarrow x = 5\)
\(2x - 3 = -7 \Rightarrow 2x = -4 \Rightarrow x = -2\)
\(|2(5)-3| = |7| = 7\; ✓\) y \(|2(-2)-3| = |-7| = 7\; ✓\)
\(|x+1| < 4 \Leftrightarrow -4 < x+1 < 4\)
\(-4-1 < x+1-1 < 4-1 \Rightarrow -5 < x < 3\)
Evaluación de la Lección 2
10 preguntas sobre la recta numérica, relación de orden y valor absoluto.
Distancia entre dos Puntos
Aprenderemos a calcular la distancia entre dos puntos en la recta real, concepto directamente ligado al valor absoluto.
3.1 Concepto de Distancia
La distancia es una función que mide cuán separados están dos puntos. En la recta numérica, la distancia entre los puntos \(a\) y \(b\) es siempre un número no negativo que mide cuántas unidades hay entre ellos, independientemente de la dirección.
La distancia entre dos puntos \(a\) y \(b\) de la recta real, denotada \(d(a,b)\), se define como:
Esta igualdad es válida porque \(|b-a| = |{-(a-b)}| = |a-b|\) (por la propiedad de simetría del valor absoluto).
La función \(d: \mathbb{R} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}_{\geq 0}\) satisface:
- No negatividad: \(d(a,b) \geq 0\)
- Identidad: \(d(a,b) = 0 \Leftrightarrow a = b\)
- Simetría: \(d(a,b) = d(b,a)\)
- Desigualdad triangular: \(d(a,c) \leq d(a,b) + d(b,c)\)
Visualización de \(d(-2, 5) = |5-(-2)| = 7\)
3.2 Punto Medio
El punto medio entre \(a\) y \(b\) en la recta real es el punto \(m\) que equidista de ambos:
Se puede verificar que \(d(a,m) = d(m,b) = \frac{d(a,b)}{2}\).
3.3 Ejercicios Resueltos Paso a Paso
\(d(3,8) = |8 - 3| = |5| = 5\)
\(d(-5,-1) = |{-1} - (-5)| = |-1+5| = |4| = 4\)
\(d(-4,6) = |6-(-4)| = |6+4| = |10| = 10\)
\(d(0,-\pi) = |-\pi - 0| = |-\pi| = \pi \approx 3.14159\ldots\)
\(d(x,2) = 5 \Leftrightarrow |x - 2| = 5\)
Caso 1: \(x - 2 = 5 \Rightarrow x = 7\)
Caso 2: \(x - 2 = -5 \Rightarrow x = -3\)
\(d(7,2) = |7-2| = 5\; ✓\) y \(d(-3,2) = |-3-2| = |-5| = 5\; ✓\)
\(m = \dfrac{a+b}{2} = \dfrac{-7+3}{2} = \dfrac{-4}{2} = -2\)
\(d(a,m) = d(-7,-2) = |-2-(-7)| = |5| = 5\)
\(d(m,b) = d(-2,3) = |3-(-2)| = |5| = 5\) ✓
Además: \(d(a,b) = |3-(-7)| = 10 = 5+5\) ✓
Evaluación de la Lección 3
10 preguntas sobre distancia entre puntos y punto medio en la recta real.
Operaciones con Números Reales
Propiedades fundamentales de ℝ, potencias, raíces n-ésimas, operaciones combinadas y racionalización.
4.1 Propiedades de los Números Reales
\((\mathbb{R}, +, \cdot)\) forma un campo ordenado completo, la estructura algebraica más rica. Esto significa que satisface los axiomas de campo (suma y producto), los axiomas de orden, y el axioma de completitud.
| Propiedad | Para la suma | Para el producto |
|---|---|---|
| Cerradura | \(a+b \in \mathbb{R}\) | \(a \cdot b \in \mathbb{R}\) |
| Conmutatividad | \(a+b = b+a\) | \(a\cdot b = b\cdot a\) |
| Asociatividad | \((a+b)+c = a+(b+c)\) | \((a\cdot b)\cdot c = a\cdot(b\cdot c)\) |
| Elemento neutro | \(a + 0 = a\) | \(a \cdot 1 = a\) |
| Elemento inverso | \(a + (-a) = 0\) | \(a \cdot \frac{1}{a} = 1,\; a\neq 0\) |
| Distributividad | \(a(b+c) = ab + ac\) | |
4.2 Potencias y sus Propiedades
Si \(a \in \mathbb{R}\) y \(n \in \mathbb{N}\), entonces:
| # | Ley | Expresión | Ejemplo |
|---|---|---|---|
| L1 | Producto de potencias | \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\) | \(x^3 \cdot x^5 = x^8\) |
| L2 | Cociente de potencias | \(\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\) | \(\dfrac{y^7}{y^3} = y^4\) |
| L3 | Potencia de potencia | \((a^m)^n = a^{mn}\) | \((z^2)^4 = z^8\) |
| L4 | Potencia de producto | \((ab)^n = a^n b^n\) | \((2x)^3 = 8x^3\) |
| L5 | Potencia de cociente | \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}\) | \(\left(\dfrac{x}{3}\right)^2 = \dfrac{x^2}{9}\) |
| L6 | Exponente negativo | \(a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}\) | \(2^{-3} = \dfrac{1}{8}\) |
4.3 Raíces n-ésimas y Exponentes Fraccionarios
La raíz n-ésima de \(a\), escrita \(\sqrt[n]{a}\), es el número \(b\) tal que \(b^n = a\). Se define:
Para raíces pares (\(n\) par): requiere \(a \geq 0\). Para raíces impares: \(a \in \mathbb{R}\) cualquiera.
Para \(a > 0\) y \(\frac{m}{n} \in \mathbb{Q}\) (fracción irreducible, \(n > 0\)):
| Propiedad | Expresión | Ejemplo |
|---|---|---|
| \(\sqrt[n]{ab}\) | \(= \sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}\) | \(\sqrt{12} = \sqrt{4}\sqrt{3} = 2\sqrt{3}\) |
| \(\sqrt[n]{a/b}\) | \(= \dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\) | \(\sqrt{\frac{9}{4}} = \dfrac{3}{2}\) |
| \(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}\) | \(= \sqrt[mn]{a}\) | \(\sqrt{\sqrt[3]{a}} = \sqrt[6]{a} = a^{1/6}\) |
| \((\sqrt[n]{a})^n\) | \(= a\) si \(n\) impar; \(= |a|\) si \(n\) par | \((\sqrt[3]{5})^3 = 5\) |
| \(\sqrt[n]{a^n}\) | \(= |a|\) si \(n\) par; \(= a\) si \(n\) impar | \(\sqrt{(-3)^2} = |-3| = 3\) |
4.4 Operaciones Combinadas y Jerarquía
Cuando una expresión contiene múltiples operaciones, se aplica el siguiente orden de jerarquía (de mayor a menor prioridad):
- Paréntesis y otros signos de agrupación (de adentro hacia afuera)
- Exponentes y raíces (de derecha a izquierda)
- Multiplicación y División (de izquierda a derecha)
- Suma y Resta (de izquierda a derecha)
4.5 Racionalización
Racionalizar significa eliminar radicales del denominador de una fracción. Se logra multiplicando numerador y denominador por el conjugado o por una expresión conveniente.
Si el denominador es \(\sqrt{a}\), se multiplica por \(\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}}\):
Si el denominador es \(a + \sqrt{b}\), se multiplica por su conjugado \(a - \sqrt{b}\):
Esto usa la identidad \((A+B)(A-B) = A^2 - B^2\).
4.6 Ejercicios Resueltos Paso a Paso
Numerador: \(x^5 \cdot x^{-2} = x^{5+(-2)} = x^3\)
Denominador: \((x^2)^3 = x^{2 \cdot 3} = x^6\)
\(\dfrac{x^3}{x^6} = x^{3-6} = x^{-3} = \dfrac{1}{x^3}\)
Árbol de factores — \(\sqrt{72}\)
Factorizar: \(72 = 36 \times 2\). Entonces \(\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = \sqrt{36}\cdot\sqrt{2} = 6\sqrt{2}\).
Factorizar: \(-54 = (-27)(2)\). Entonces \(\sqrt[3]{-54} = \sqrt[3]{-27}\cdot\sqrt[3]{2} = -3\sqrt[3]{2}\).
Separar potencias pares e impares: \(\sqrt{x^5 y^4} = \sqrt{x^4 \cdot x \cdot y^4} = x^2 y^2 \sqrt{x}\) (asumiendo \(x \geq 0, y \geq 0\)).
\(\sqrt{16} = 4\), entonces \(4 - \sqrt{16} = 4 - 4 = 0\)
\(3^2 = 9\), \(\;(0)^3 = 0\), \(\;(-2)^3 = -8\)
\(2 \cdot 0 \div 8 = 0 \div 8 = 0\)
\(9 + 0 - (-8) = 9 + 8 = 17\)
Multiplicar por \(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\):
\(\dfrac{5}{\sqrt{3}} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \dfrac{5\sqrt{3}}{(\sqrt{3})^2} = \dfrac{5\sqrt{3}}{3}\)
El conjugado de \(1 + \sqrt{2}\) es \(1 - \sqrt{2}\):
\(\dfrac{4}{1+\sqrt{2}} \cdot \dfrac{1-\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}} = \dfrac{4(1-\sqrt{2})}{1^2 - (\sqrt{2})^2} = \dfrac{4(1-\sqrt{2})}{1-2} = \dfrac{4(1-\sqrt{2})}{-1}\)
\(= -4(1-\sqrt{2}) = -4 + 4\sqrt{2} = 4\sqrt{2} - 4\)
Evaluación de la Lección 4
10 preguntas sobre propiedades, potencias, raíces, operaciones combinadas y racionalización.